Журнал

Свойство множества, при котором из любого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. В ℝⁿ это в точности замкнутость и ограниченность.

K ⊆ ⋃_i∈I U_i ⟹ K ⊆ U_i₁ ∪ … ∪ U_iₙ

Способ приписать множеству число-«размер» так, чтобы объединение непересекающихся частей давало сумму. Мера Лебега продолжает длину на гораздо более широкий класс множеств.

μ(⨆_n A_n) = ∑_n μ(A_n)

Функция, задающая длину вектора: неотрицательна, однородна и не нарушает неравенство треугольника. Норма превращает векторное пространство в метрическое.

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

Множество чисел λ, при которых оператор A − λI не имеет ограниченного обратного. В конечной размерности это в точности собственные числа.

σ(A) = { λ ∈ ℂ : (A − λI)⁻¹ ∉ ℬ(H) }

Операция, усредняющая одну функцию по сдвигам другой. Преобразование Фурье переводит свёртку в обычное произведение.

(f ∗ g)(x) = ∫_ℝ f(t) g(x − t) dt

Единственное расширение голоморфной функции на большую область. Именно так дзета-функция получает смысл при Re s ≤ 1.

ζ(s) = 2^s π^s−1 sin(πs⁄2) Γ(1 − s) ζ(1 − s)